近年来随着石墨烯材料获得空前的成功以及拓扑绝缘体等材料的关注度持续上升,对凝聚态物质中满足相对论量子力学的准粒子的研究已经成为一种新常态。Dirac材料的新型电子特性使得它们在电子学、光子学等领域具有很多优良的应用前景。材料在外场中的性质以及杂质态等相关研究非常重要。精确求解Dirac费米子满足的Dirac型方程是所有相关量子特性研究的基础。可以将求解薛定谔方程的成熟、系统的思想和方法,在用于一阶微分方程组求解时进行一些优化和扩展。与此同时,石墨烯中基底引起的巨Rashba效应的发现弥补了石墨烯本征自旋轨道相互作用很小的不足,使得石墨烯在自旋电子学领域的应用取得进步。这样就形成了一个需要同时考虑赝自旋与真自旋两个自由度的准粒子模型,对其量子特性的研究很有意义。本论文主要采用数值计算研究了具有Rashba效应的无限大单层石墨烯库仑杂质态的量子特性及均匀磁场的调控作用。计算和比较了不同磁感应强度、Rashba系数和有效库仑势强度下的准粒子杂质态的能谱和波函数变化规律。观察到了各个系数的竞争关系和对量子态的调控,特别是相同总角动量的能级之间发生反交叉的现象。计算了杂质态的z方向自旋平均值随体系参数的变化规律,发现了库仑势对自旋取向产生影响,能级发生反交叉时,对应的自旋取向则发生一次交叉互换过程。这一研究为利用磁场调控石墨烯杂质态自旋极化提供了理论基础,对发展基于石墨烯的新型自旋电子学器件有意义。在本论文中,基于本研究组求解薛定谔和Dirac方程的分区级数方法,通过优化奇点处全矩阵处理,将方法扩展为可以求解更多情形下的Dirac型有效哈密顿方程的径向一阶线性齐次常微分方程组的本征值问题。并对算法中的边值处理、初值问题、搜索算法等步骤及误差来源进行了较为系统的研究。