1952年Markowitz开创性地提出了证券组合选择问题的均值-方差模型，这一模型奠定了现代投资组合理论的基础，他也因此获得了1990年的诺贝尔经济学奖.经典的均值-方差模型最初是假定协方差矩阵为正定，也就是说它的逆是存在的.最优投资组合问题的解正是用协方差阵的逆来表示的，而且目前已有文献也大都假定协方差阵是正定的.然而，不幸的是，即便所考虑的证券全是风险证券，其对应的协方差阵一般也仅满足非负定条件，从而可能出现奇异的情形. 本文主要研究了奇异协方差阵下的证券组合选择问题，在没有对协方差阵的结构和秩作任何限制的条件下，利用广义逆矩阵方法突破了传统方法中要求协方差阵可逆的限制，得到了证券市场存在有效组合的充要条件，并给出了有效前沿和有效组合的解析解，成功地推广了经典Markowitz模型.同时本文还对奇异协方差阵下组合前沿的特征进行了分析.研究发现，在奇异协方差阵下，虽然前沿组合可能不唯一，但组合前沿与前沿组合的唯一性无关，而且在无套利假设下，组合前沿在风险收益平面上的特征与协方差阵正定的情形一致，即或是一条射线，或是一条双曲线.对于存在不同借贷利率的情形，本文也得到了相应前沿组合与组合前沿的解析解. Szeg(o)曾猜想当协方差阵奇异时，证券市场要么存在套利，要么存在有效子集，本文从有效组合的通解出发，给出了证券组合有效子集的一个等价定义，并得到了在证券全集中存在有效子集的充要条件，给出了证券子集为有效子集的一些新的充要条件，进一步还讨论了证券组合有效子集与主成分集的关系.同时，我们也对奇异协方差阵下的证券组合选择问题进行了无套利分析，得到了证券市场无套利的充要条件，从而证明了Szeg(o)的猜想. 最后，本文还在奇异协方差阵下研究了线性模型中的最佳线性无偏估计(BLUE)和最优线性无偏预测(BLUP)之间的关系.利用分块矩阵广义逆直接对加权风险函数进行分解，提出了一种由均值向量的无偏估计来构造无偏预测的新方法，并找到了它们之间的构造关系.特别地，线性可预测变量的BLUP可由均值向量的BLUE唯一地表示(有关唯一性在几乎处处意义下理解).