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本文考虑表整数为一个素数与一个素数的k次幂之和的问题,即n=p1+pk2.
令Hk表示集合{n|2|n,n≠1(mod P)对所有P＞2,P-1|k},Ek(X)表示Hk∩[1,X]中不能表为一个素数与一个素数的k次幂之和的整数的个数.我们将引入筛法证明如下主要结果.设k≥3,则对于任意A＞0和ε＞0,Ek(X+H)-Ek(X)《H(logX)-A对于X11/20(1-1/2k)+ε≤H≤X成立,其中的《常数依赖于k,A和ε.
这表明对于k≥3,当X11/20(1-1/2k)≤H≤X时,集合Hk∩(X,X+H]中除O(HClogX)-A)个整数之外,其它均可以表为一个素数与一个素数的k次幂之和.
此外,考虑表整数为一个素数与一个整数的k次幂之和的问题,即n=P+mk.
令Ek(x)表示[1,X]中不能表成一个素数与一个整数的k次幂之和的整数的个数.我们得到一个类似的结果.
设k≥3,则对于任意A＞0和ε＞0,Ek(X+H)-Ek(X)《H(logX)-A
对于X11/20(1-1/k)+ε≤H≤X成立,其中的《常数依赖于k,A和ε.
这表明对于k≥3,当X11/20(1-1/k)≤H≤X时,(X,X+H]中除O(H(logX)-A)个整数之外均可以表为一个素数与一个整数的k次幂之和.