本文,我们研究求解Hamilton-Jacobi（HJ）方程的有限差分Hermite加权本质无振荡（Hermite Weighted Essentially Non-Oscillatory,HWENO）方法,以及求解多介质流问题的高精度的守恒的有限差分方法。主要研究成果为:1、我们设计了求解Hamilton-Jacobi方程的有限差分方法。我们在插值过程中同时使用了函数值和导数值,并且同时演化它们。对于函数值方程,我们使用了经典的数值流通量。而对于导数值方程,我们使用了非守恒的格式来提高数值格式的效率。我们格式的主要优势在于:它比加权本质无振荡方法（Weighted Essentially Non-Oscillatory,WENO）使用更加紧凑的空间计算模板;它比文献“Hermite WENO schemes for Hamilton-Jacobi equations”更节省计算量。2、我们设计了在三角网格上求解Hamilton-Jacobi方程的有限差分方法。我们的数值格式有如下三大优势:1、我们的方法相比较加权本质无振荡方法而言更加紧凑;2、新的HWENO构造方法允许任意和为1的正数作为线性权,这样极大提高了格式的稳定性;3、新的HWENO构造方法是在每个三角单元构造出多项式,这样使得我们可以利用这个多项式一次性计算这个三角单元在三个顶点的所有偏导数,而不再像经典的HWENO方法那样将每个顶点的每个偏导数的线性权分别计算,这样可以极大节省计算量。3、我们设计了求解多介质流问题的守恒的有限差分方法。我们的方法有如下四个优点:第一,我们的方法是守恒的;第二,我们的方法是将WENO插值方法直接应用到原始变量中,这样的方法能保证在界面附近的速度和压力是连续的,这对于得到没有振荡的数值解有很大的帮助;第三,我们使用点值计算,这样能够使得我们在守恒变量与原始变量之间的转换更加准确,没有误差;第四,我们在光滑时实现了高精度,这样就不会因为在界面捕捉的误差而影响整体的精度,而且也能减小因为捕捉界面位置不准确而带来的误差。最后,我们使用大量的数值算例来验证我们数值格式能够在光滑的时候实现高阶精度,在不光滑的地方能够实现高分辨率。