自由边界问题是边界为未知的一类偏微分方程的定解问题，其未知边界要作为解的一部分来确定。自由边界问题本质上都是非线性的，求解自由边界问题的数值方法主要可以划分为三类：边界跟踪法、区域固定法和边界固定法。随着自由边界问题实际应用背景的扩大，新的数值算法思想不断涌现。本文主要研究了一类变系数抛物型方程的自由边界问题，其中系数是空间变量和时间变量的函数，这类方程在实际工程中有着很广泛的应用。 首先，将此类自由边界问题转化为求积分方程不动点问题，然后通过利用不动点、压缩映像原理证明了其解的适定性；其次，根据方程变系数这一特点，利用积分插值法给出了方程的守恒差分格式。描述物理现象或运动过程的微分方程常常具有某种守恒特征，而守恒差分格式很好的保持了微分方程中的这种守恒规律，同时，能量估计法是在变系数微分方程情况下验证差分格式稳定性和收敛性的常用方法，故本文应用该方法检验了守恒差分稳定性和收敛性。在无相变和有相变情形下，分别用隐式和显式差分格式逼近微分方程，得到了离散点温度值随时间或空间变量变化的规律。无相变发生情形下，热流量满足一定条件，证明了若在某一时刻的离散点温度值为正，则下一时刻的离散点温度值为正这一结论；在有相变（或自由边界）情形下，若格式系数满足一定条件，则离散点温度值随空间变量增加而增加，随时间变量增加而减小。我们还讨论了热流量的选取。此外，在有相变情形下，还将有关结论推广到二维情形。 最后，为了直观的了解离散点温度分布及自由边界的移动轨迹，分别给出了它们的曲线图。